Question

【題目】已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有2個(gè)不同零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為和.（3）證明見解析

【解析】

（1）由，得，所以，即可求得答案；

（2），根據(jù)導(dǎo)數(shù)，分別討論和函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）因?yàn)?/span>，設(shè)，得，令，當(dāng)，，結(jié)合已知和零點(diǎn)定義，即可求得答案.

（1）由，得，

，

曲線在處的切線方程為.

（2），

當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，，

，

令，得；

令，得或，

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為和.

綜上所述，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和；

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.

（3）由題意知，，

得，

令，

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，

又，，

存在唯一的，使得，

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，

故是的唯一極值點(diǎn)，

令，

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，

即當(dāng)時(shí)，，即，

，

又，

函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，

又在上有唯一的零點(diǎn)，

函數(shù)恰有2個(gè)不同零點(diǎn).