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已知x1＞0,x1≠1且xn+1=(n=1,2,3,…)，試證：數(shù)列{xn}或者對任意n∈N都滿足xn＜xn+1，或者對任意n∈N都滿足xn＞xn+1.

證明：由于xn+1-xn=-xn=且x1＞0,又由題設(shè)可知對任意n∈N,有xn＞0,故xn+1-xn與1-xn2同號，于是應(yīng)分x1＜1與x1＞1兩種情況討論.

（1）若x1＜1,用數(shù)歸納法證明1-xn2＞0.

1°當(dāng)n=1時，1-x12＞0成立.

2°假設(shè)當(dāng)n=k時，1-xk2＞0成立，則當(dāng)n=k+1時，1-xk+12=1-［］2=＞0，即當(dāng)n=k+1時，有1-xk+12＞0成立.故對任意n∈N,都有1-xn2＞0,∴對任意n∈N,有xn+1＞xn.

(2)若x1＞1，同樣可證，對任意n∈N,1-xn2＜0,此時有xn+1＜xn.綜合（1）、（2），原問題獲證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x1=logax2=log(a+1)x3＞0,0＜a＜1,則x1、x2、x3的大小關(guān)系是(    )

A.x3＜x2＜x1                                                     B.x2＜x1＜x3

C.x1＜x3＜x2                                                     D.x2＜x3＜x1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年湖北夷陵中學(xué)高三第一次階段性考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

    已知定義域為[0, 1]的函數(shù)f（x）同時滿足：

    ①對于任意的x[0, 1]，總有f（x）≥0;

    ②f（1）＝1; 

    ③若0≤x1≤1, 0≤x2≤1, x1＋x2≤1, 則有f （x1＋x2） ≥ f （x1）＋f （x2）．

   （1）試求f（0）的值;

   （2）試求函數(shù)f（x）的最大值；

（3）試證明：當(dāng)x, nN＋時，f（x）<2x．

 

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（本小題滿分14分）

    已知定義域為[0, 1]的函數(shù)f（x）同時滿足：

    ①對于任意的x[0, 1]，總有f（x）≥0;

    ②f（1）＝1; 

    ③若0≤x1≤1, 0≤x2≤1, x1＋x2≤1, 則有f （x1＋x2） ≥ f （x1）＋f （x2）．

   （1）試求f（0）的值;

   （2）試求函數(shù)f（x）的最大值；

（3）試證明：當(dāng)x, nN＋時，f（x）<2x．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x1＞0,x1≠1且xn+1=(n=1,2,3,…)，試證：數(shù)列{xn}或者對任意n∈N都滿足xn＜xn+1，或者對任意n∈N都滿足xn＞xn+1.

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