Question

4．已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=$\frac{1}{2}，且{a_3}^2=4{a_2}{a_6}$．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出等比數(shù)列的公比，代入通項公式得答案；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求出b_n，然后由裂項相消法求$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項和．

解答 解：（Ⅰ）設數(shù)列{a_n}的公比為q，由${{a}_{3}}^{2}=4{a}_{2}{a}_{6}$，得${{a}_{3}}^{2}=4{{a}_{4}}^{2}$，
∴${q}^{2}=\frac{1}{4}$，由條件可知，q＞0，∴q=$\frac{1}{2}$．
∵${a}_{1}=\frac{1}{2}$，∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=-（1+2+…+n）=-$\frac{n（n+1）}{2}$．
故$\frac{1}{_{n}}=-\frac{2}{n（n+1）}=-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{_{1}}+\frac{1}{_{2}}+…+\frac{1}{_{n}}=-2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$-\frac{2n}{n+1}$．
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項和為$-\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．