Question

如圖2-2-9,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=BC,D,E分別為BB₁、AC₁的中點(diǎn).

圖2-2-9

(1)證明ED為異面直線BB₁與AC₁的公垂線;

(2)設(shè)AA₁=AC=AB,求二面角A_1-AD-C₁的大小.

Answer 1

(1)證明:設(shè)O為AC中點(diǎn),連結(jié)EO,BO,則EOC₁C,又C₁CB₁B,所以EODB,EOBD為平行四邊形,ED∥OB.

∵AB=BC,∴BO⊥AC.

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁,BO面ABC,故BO⊥平面ACC₁A₁,

∴ED⊥平面ACC₁A₁,ED⊥AC₁,ED⊥CC₁.

∴ED⊥BB₁,ED為異面直線AC₁與BB₁的公垂線.

 (2)連結(jié)A₁E,由AA₁=AC=AB可知,A₁ACC₁為正方形,

∴A₁E⊥AC₁.又由ED⊥平面ACC₁A₁和ED平面ADC₁,知平面ADC₁⊥平面A₁ACC₁,∴A₁E⊥平面ADC₁.作EF⊥AD,垂足為F,連結(jié)A₁F,則A₁F⊥AD,∠A₁FE為二面角A_1-AD-C₁的平面角.

不妨設(shè)AA₁=2,則AC=2,AB=ED=OB=1,EF=,

tan∠A₁FE=,∴∠A₁FE=60°.

所以二面角A_1-AD-C₁為60°.