Question

已知點(diǎn) M（-2，0）,N（2，0），動(dòng)點(diǎn) P滿足條件|PM |-|PN|=，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為 W.

（1）求 W的方程；

（2）若 A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

思路分析：本題考查圓錐曲線方程的解法及最值問題的解決.記住一些有用的解題的小結(jié)論、小技巧，也許對(duì)提高解題的速度是有較大的幫助的.

解：（1）由|PM|-|PN|=知,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以為M、N焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長(zhǎng)a=.

又半焦距c=2，故虛半軸b=.

所以W的方程為=1,x≥.

（2）設(shè) A，B的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),

當(dāng)AB⊥x軸時(shí),x₁=x₂,從而y₁=y₂,從而=x₁x₂+y₁y₂=x₁²-y₁²=2.

當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,與W的方程聯(lián)立,消去y得(1-k²)x²-2kmx-m²-2=0.

故x₁+x₂=,x₁x₂=.

所以=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+m)(kx₂+m)

=(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²=+m²=.

又因?yàn)閤₁x₂＞0,所以k²-1＞0,從而＞2

綜上,當(dāng)AB⊥x軸時(shí),取得最小值2.