Question

求函數(shù)f（x）=

1

3

x3-9x+1（x∈R）的極值．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)某一點x₀取得極值的充要條件是函數(shù)在這一點附近的導數(shù)異號且f′（x₀）=0．

解答：解：因為函數(shù)f（x）=

1

3

x3-9x+1（x∈R），
所以f'（x）=x³-9=（x-3）（x+3）
令f′（x）=0，解得x=-3，或x=3．
由f^′（x）＞0，得x＜-3，或x＞3；由f^′（x）＜0，得-3＜x＜3．（4分）
當x變化時，f^′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	19	單調(diào)遞減	-17	單調(diào)遞增

（8分）
因此當x=-3時，f（x）有極大值，極大值為f（-3）=19；（10分）
當x=3時，f（x）有極小值，極小值為f（3）=-17．（12分）

點評：考查了函數(shù)在某點取得極值的條件，連續(xù)函數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)某點處左右兩側(cè)的單調(diào)性不同，則該點是函數(shù)的極值點．此題是中檔題．掌握函數(shù)取得極值的充要條件是解題的關鍵．