Question

已知直角△OAB的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A、B在拋物線y²=2px（p＞0）上，原點(diǎn)在直線AB上的射影為點(diǎn)D（2，1），求拋物線的方程．

Answer 1

∵原點(diǎn)在直線AB上的射影為點(diǎn)D（2，1），
∴直線AB的斜率為k_AB=-2，
∴線AB的方程l_AB：y-1=-2（x-2），
整理得：2x+y-5=0…（4分）
將2x=5-y代入y²=2px（p＞0）
得y²+py-5p=0，…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程y²+py-5p=0的兩根．
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，…（8分）
∴y₁y₂-（y₁+y₂）+5=0，
∴-5p+p+5=0，
∴p=

5

4

，
∴y²=

5

2

x…（12分）