Question

（18）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)。

（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

Answer 1

(18)方法一：

（Ⅰ）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂線定理得：CD⊥PD。

因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD。

又CD而PCD，∴面PAD⊥面PCD。  

（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，則∠PBE是AC與PB所成的角。

連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四邊形ACBE為正方形。

由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=,PB=,

∴cos∠PBE=,

∴AC與PB所成的角為arccos.

(Ⅲ)解：作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN。

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC，

∴BN⊥CM,故∠ANB為所求二面角的平面角。

∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB,所以CM=AM。

在等腰三角形AMC中，AN·MC=

∴AN=。

∴AB=2，

∴cos∠ANB=。

故所求的二面角為arccos(－).

方法二：因?yàn)镻A⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1,).

(Ⅰ)證明：因=（0，0，1），=（0，1，0），故·=0，所以AP⊥DC。

又由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD。

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD。

（Ⅱ）解：因=（1，1，0），=（0，2，－1），

故||=，||=，·=2，所以

cos<,>=.

由此得AC與PB所成的角為arccos.

(Ⅲ)解：在MC上取一點(diǎn)N（x,y,z）,則存在∈R，使

，

=(1－x,1－y,－z), =(1,0,－),

∴x=1－,y=1,z=.

要使AN⊥MC，只需·=0，即

x－z=0,解得=。

可知當(dāng)=時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（），能使·=0。

此時(shí)，=（），有·=0。

由·=0，·=0得AN⊥MC，BN⊥MC。所以∠ANB為所求二面角的平面角。

∵||=。

∴cos<，>=。

故所求的二面角為arccos(－).