Question

8．已知拋物線y²=2px（p＞0），過點(diǎn)T（p，0）且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則直線OA，OB的斜率之積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）-2．

Answer 1

分析 求出AB的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè)出AB坐標(biāo)，然后求解直線的斜率乘積，推出結(jié)果．

解答 解：依題意過點(diǎn)T（p，0）且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，直線AB：y=x-p，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-p}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去x得：y²-2py-2p²=0，
設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），則有y₁y₂=-2p²．
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}}•\frac{{y}_{2}}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}}$=$\frac{4{p}^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．