Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC的中點(diǎn)，PA=AD=AB=1．
（1）證明：BE∥平面PAD；
（2）證明：BE⊥平面PDC；
（3）求三棱錐E-PBD的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明：BE∥平面PAD；
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理證明：BE⊥平面PDC；
（3）根據(jù)三棱錐的體積公式即可求三棱錐E-PBD的體積．

解答：解：（1）證明：取PD中點(diǎn)Q，連結(jié)AQ、EQ．…（1分）
∵E為PC的中點(diǎn)，
∴EQ∥CD且EQ=

1

2

CD．…（2分）
又∵AB∥CD且AB=

1

2

CD，
∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴BE∥AQ．…（4分）
又∵BE?平面PAD，AQ?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．…（5分）
（2）證明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．…（6分）
又∵CD⊥AD，且PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AQ．…（7分）
∵PA=AD，Q為PD的中點(diǎn)，∴AQ⊥PD，…（8分）
∵CD∩PD=D，∴AQ⊥平面PDC．…（9分）
∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PDC．…（10分）
（3）解法一
∵E為PC的中點(diǎn)，
∴V_E-PBD=V_B-PDE=V_B-ECD=V_E-BCD．…（11分）
∵PA⊥底面ABCD，
∴點(diǎn)E到面BCD的距離d=

1

2

PA=

1

2

．…（12分）
∴S△BCD=

1

2

CD×AD=

1

2

×2×1=1．…（13分）
V_E-BCD=

1

3

S△BCD×d=

1

3

×1×

1

2

=

1

6

，
∵E為PC的中點(diǎn)，
∴VE-PBD=

1

6

．…（14分）
解法二
由前面證明可知：BE是三棱錐B-PDE的高，CD⊥PD．
在Rt△PAD中，PD=

PA2+AD2

=

2

，BE=AQ=

1

2

PD=

2

2

．…（11分）
S△PDE=

1

2

S△PDC=

1

2

×

1

2

×PD×DC=

2

2

，…（12分）
V_E-PBD=V_B-PDE…（13分）=

1

3

S△PDE×BE=

1

3

×

2

2

×

2

2

=

1

6

．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查空間直線和平面平行或垂直的判斷以及空間三棱錐的體積的計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理．考查學(xué)生的推理能力．