Question

5．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O為原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+2（y₁+y₂）．則直線l的方程是2x+y-2=0．

Answer 1

分析 求得拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)直線l的方程為y-0=k（x-1），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），把直線l的方程代入拋物線的方程，利用韋達(dá)定理求得k值后，可得直線方程．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)直線l的方程為 y-0=k（x-1），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
把直線l的方程代入拋物線的方程可得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
故有 x₁•x₂=1．
把直線l的方程代入拋物線的方程可得 ky²-4y-4k=0，
∴y₁•y₂=-4．y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，
∴向量$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=x₁x₂+2（y₁+y₂）=-3，
∴k=-2，
∴直線l的方程為 y=-2（x-1），即2x+y-2=0，
故答案為：2x+y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．