Question

在正△ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn),滿足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2〔如圖(1)〕.將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置,使二面角A₁EFB成直二面角,連結(jié)A₁B、A₁P〔如圖(2)〕.

(1)求證:A₁E⊥平面BEP;

(2)求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大小;

(3)求二面角B-A₁P-F的大小(用反三角函數(shù)值表示).

Answer 1

解法一:不妨設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為3.

 (1)證明:在圖(1)中,取BE的中點(diǎn)D,連結(jié)DF.

∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,

∴AF=AD=2.而∠A=60°,

∴△ADF是正三角形.

又AE=DE=1,∴EF⊥AD.

在圖(2)中,A₁E⊥EF,BE⊥EF,

∴∠A₁EB為二面角A₁EFB的平面角.

由題設(shè)條件知此二面角為直二面角,

∴A₁E⊥BE.

又BE∩EF=E,∴A₁E⊥平面BEF，

即A₁E⊥平面BEP.

(2)解:在圖(2)中,∵A₁E不垂直于A₁B,

∴A₁E是平面A₁BP的斜線.

又A₁E⊥平面BEP,∴A₁E⊥BP.

從而BP垂直于A₁E在平面A₁BP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理).

設(shè)A₁E在平面A₁BP內(nèi)的射影為A₁Q,且A₁Q交BP于點(diǎn)Q,則

∠EA₁Q就是A₁E與平面A₁BP所成的角,且BP⊥A₁Q.

在△EBP中,∵BE=BP=2,∠EBP=60°,

∴△EBP是等邊三角形.∴BE=EP.

又A₁E⊥平面BEP,∴A₁B=A₁P.

∴Q為BP的中點(diǎn),且EQ=.

(3)

又A₁E=1,在Rt△A₁EQ中,tan∠EA₁Q=,

∴∠EA₁Q=60°.

∴直線A₁E與平面A₁BP所成的角為60°.

(3)解:在圖(3)中,過F作FM⊥A₁P于M,連結(jié)QM、QF.

∵CF=CP=1,∠C=60°,

∴△FCP是正三角形.

∴PF=1.

又PQ=BP=1,∴PF=PQ.                                                 ①

∵A₁E⊥平面BEP,EQ=EF=,

∴A₁F=A₁Q.∴△A₁FP≌△A₁QP.

從而∠A₁PF=∠A₁PQ.                                                     ②

由①②及MP為公共邊知△FMP≌△QMP,

∴∠QMP=∠FMP=90°,且MF=MQ,

從而∠FMQ為二面角BA₁PF的平面角.

在Rt△A₁QP中,A₁Q=A₁F=2,PQ=1,

∴A₁P=.

∵M(jìn)Q⊥A₁P,∴MQ==.

∴MF=.

在△FCQ中,FC=1,QC=2,∠C=60°,

由余弦定理得QF=3.

在△FMQ中,cos∠FMQ=.

∴二面角B-A₁-P-F的大小為π-arccos.

解法二:不妨設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為3.

(1)證明:同解法一.

(2)解:如圖(1),由解法一知A₁E⊥平面BEF,BE⊥EF.建立如圖(4)所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz,則E(0,0,0)、A₁(0,0,1)、B(2,0,0)、F(0,3,0).

(4)

在圖(1)中,連結(jié)DP,

∵AF=BP=2,AE=BD=1,∠A=∠B,

∴△FEA≌△PDB,PD=EF=3.

由圖(1)知PF∥DE且PF=DE=1,∴P(1,,0).

∴=(2,0,-1), =(-1,,0).

∴對(duì)于平面A₁BP內(nèi)任一非零向量a,存在不全為零的實(shí)數(shù)λ、μ,

使得a=λ+μ=(2λ-μ,μ,-λ).

又=(0,0,-1),

∴cos〈,a〉=.

∵直線A₁E與平面A₁BP所成的角是與平面A₁BP內(nèi)非零向量夾角中最小者,

∴可設(shè)λ＞0,從而cos〈,a〉=.

又5-4+4()²=4(-)²+4的最小值為4,

∴cos〈,a〉的最大值為,即與a夾角中最小的角為60°.

∴直線A₁E與平面A₁BP所成的角為60°.

(3)解:如圖(4),過F作FM⊥A₁P于M,過M作MN⊥A₁P交BP于N,則∠FMN為二面角B-A₁-P-F的平面角.

設(shè)M(x,y,z),則=(-x,-y,-z).

∵⊥,∴·=0.

又=(1,,-1),∴x+(y-)-z=0.                                          ①

∵A₁、M、P三點(diǎn)共線,

∴存在λ∈R,使得=λ.

∵=(x,y,z-1),∴(x,y,z-1)=λ(1,3,-1).

從而代入①得λ=,

∴M(,,).

同理可得N(,,0),從而=(-,,-),=(,,-).

∴cos〈,〉=.

∴二面角B-A₁P-F的大小為π-arccos.