Question

11．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$與函數(shù)g（x）=ln（1-x）-$\frac{x}{x-1}$的圖象關于y軸對稱．
（Ⅰ）求a的值，并求函數(shù)f（x）的最小值；
（II）是否存在點M（0，-1）的直線與函數(shù)y=f （x）的圖象相切？若存在，滿足條件的切線有多少條？若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的對稱性求出a的值即可；
（Ⅱ）假設存在這樣的切線，設出切點，表示出切線方程，構造函數(shù)h（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$+$\frac{3}{x+1}$-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）與g（x）的圖象關于y軸對稱，
∴f（x）=g（-x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，
∴a=1；         
f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，f′（x）=$\frac{x}{{（x+1）}^{2}}$，
當-1＜x＜0時，f′（x）＜0，當x＞0時，f′（x）＞0，
∴x=0時f（x）有最小值f（x）=0．       
（Ⅱ）假設存在這樣的切線，設其中一個切點T（x₀，ln（x₀+1）-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$），
故切線方程為：y-[ln（x₀+1）-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$]=$\frac{{x}_{0}}{{{（x}_{0}+1）}^{2}}$（x-x₀），
將點M坐標代入得：-1-[ln（x₀+1）-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$]=$\frac{{x}_{0}}{{{（x}_{0}+1）}^{2}}$（0-x₀），
即ln（x₀+1）-$\frac{1}{{{（x}_{0}+1）}^{2}}$+$\frac{3}{{x}_{0}+1}$-1=0①，
設h（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$+$\frac{3}{x+1}$-1，
則h′（x）=$\frac{x（x-1）}{{（x+1）}^{3}}$，
h（x）在區(qū)間（-1，0），（1，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，
又h（0）=1＞0，h（1）=ln2+$\frac{1}{4}$＞0，h（-$\frac{3}{4}$）=ln$\frac{1}{4}$-5＜0，
注意到h（x）在其定義域上的單調(diào)性，知h（x）=0僅在（-$\frac{3}{4}$，0）內(nèi)有且僅有一根，
從而方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及切線方程問題，是一道中檔題．