Question

（12分）已知數(shù)列的前項和為,且對一切正整數(shù)都成立.

(1)求,的值;

(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,當為何值時,最大?并求出的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1） 

(2),n=7時,T_n取得最大值,且T_n的最大值為 T₇= 

【解析】(1)令n=1則

再令n=2可得然后兩方程聯(lián)立可解得,的值.

(2)在（1）的基礎(chǔ)上，可知

再根據(jù) , (2+)a_n-1=S₂+S_n-1

所以a_n= ,

據(jù)此可知{a_n}是等比數(shù)列，因而,

所以,所以可知數(shù)列{b_n}是以為公差,且單調(diào)遞減的等差數(shù)列.然后根據(jù)b_n>0可解出n的范圍，從而確定T_n的最大值.

取n=1,得    ①

取n=2,得    ②

又②-①,得       ③

(1)若a₂=0, 由①知a₁=0, 

(2)若a_2,   ④

由①④得: 

(2)當a₁>0時,由(I)知, 

當 , (2+)a_n-1=S₂+S_n-1

所以,a_n= 

所以 

令 

所以,數(shù)列{b_n}是以為公差,且單調(diào)遞減的等差數(shù)列.

則 b₁>b₂>b₃>>b₇= 

當n≥8時,b_n≤b₈= 

所以,n=7時,T_n取得最大值,且T_n的最大值為

T₇=