Question

11．學校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設ξ為選出的人中即會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且$P（ξ＞0）=\frac{7}{10}$．
（1）求文娛隊的隊員人數(shù)；   
（2）求ξ的分布列，并求其數(shù)學期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設既會唱歌又會跳舞的有x人，則該演出隊的總?cè)藬?shù)為（7-x）人，那么只會一項的人數(shù)是（7-2x）人，由已知得P（ξ=0）=1-P（ξ＞0）=1-$\frac{7}{10}$=$\frac{3}{10}$，由此能求出該演出隊的總?cè)藬?shù)．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）設既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊的總?cè)藬?shù)為（7-x）人，那么只會一項的人數(shù)是（7-2x）人，
∵ξ為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且P（ξ＞0）=$\frac{7}{10}$，
∴P（ξ=0）=1-P（ξ＞0）=1-$\frac{7}{10}$=$\frac{3}{10}$，
∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{7-2x}^{2}}{{C}_{7-x}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，解得x=2，
∴該文娛隊的總?cè)藬?shù)為5人．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

Eξ=$0×\frac{3}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查概率的求法及應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．