Question

18．三棱錐P-ABC中，已知∠APC=∠BPC=∠APB=$\frac{π}{3}$，點(diǎn)M是△ABC的重心，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PA}$=9，則|$\overrightarrow{PM}$|的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{PB}=\overrightarrow，\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{c}$，根據(jù)條件以及數(shù)量積公式，即可得到$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$+$|\overrightarrow||\overrightarrow{c}|$+$|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|$=18，連接CM，延長(zhǎng)之后交AB的中點(diǎn)D，連接PD，根據(jù)向量加法的幾何意義及重心的性質(zhì)便可得到$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）$，只要求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|$的最小值即可．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{PB}=\overrightarrow，\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{c}$，根據(jù)條件以及數(shù)量積公式，即可得到$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$+$|\overrightarrow||\overrightarrow{c}|$+$|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|$=18，連接CM，延長(zhǎng)之后交AB的中點(diǎn)D，連接PD，D為AB中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）$，
所以|$\overrightarrow{PM}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|$，

∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+18$，
因?yàn)?{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|$，${\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥2|\overrightarrow||\overrightarrow{c}|$，
相加得到${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow||\overrightarrow{c}|$=18，
所以${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥18$，
所以$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}{|}^{2}≥36$，
所以$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|≥6$；
∴$|\overrightarrow{PM}|≥$2；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算公式，向量加法、數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，以及基本不等式的應(yīng)用