Question

工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務(wù)，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果前一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個人，現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別p₁，p₂，p₃，假設(shè)p₁， p₂，p₃互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨立。
（1）如果按甲最先、乙次之、丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻�人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？
（2）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務(wù)的概率依次為q₁，q₂，q₃，其中q₁，q₂，q₃是p₁，p₂，p₃的一個排列，求所需派出人員數(shù)目X的分布列和均值（數(shù)學期望）EX；
（3）假定1>p₁>p₂>p₃，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學期望）達到最小。

Answer 1

解：（1）無論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃），所以任務(wù)能被完成的概率與三個人被派出的先后順序無關(guān)，并等于1-（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）=p₁+p₂+p₃-p₁p₂-p₂p₃-p₃p₁+p₁p₂p₃。
（2）當依次派出的三個人各自完成任務(wù)的概率分別為q₁，q₂，q₃時，隨機變量X的分布列為

所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學期望）EX是
EX=q₁+2（1-q₁）q₂+3（1-q₁）（1-q₂） =3-2q₁-q₂+q₁q₂。
（3）由（2）的結(jié)論知，當以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時，EX=3-2p₁-p₂+p₁p₂。根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值，下面證明：對于p₁，p₁，p₃的任意排列q₁，q₂，q₃，都有3-2q₁-q₂+q₁q₂≥3-2p₁-p₂+p₁p₂. …… （*）
事實上，△=（3-2q₁-q₂+q₁q₂）-（3-2p₁-p₂+p₁p₂）
=2（p₁-q₁）+（p₂-q₂）-p₁p₂+q₁q₂
=2（p₁-q₁）+（p₂-q₂）-（p₁-q₁）p₂-q₁（p₂-q₂）
=（2-p₂）（p₁-q₁）+（1-q₁）（p₂-q₂）
≥（1-q₁）[（p₁+p₂）-（q₁+q₂）] ≥0
即（*）成立。