Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
（Ⅰ）證明S₁，S₃，S₉成等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)a₁=1，b_n=a${\;}_{{2}^{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列中項的性質(zhì)，解方程可得d=2a₁，再由等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合等比數(shù)列中項性質(zhì)，即可得證；
（Ⅱ）求出b_n=a${\;}_{{2}^{n}}$，=a₁+（2ⁿ-1）d=1+2（2ⁿ-1）=2ⁿ⁺¹-1，再由分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 （Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n}是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，
S_n為其前n項和，a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
可得a₂²=a₁a₅，
即為（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），
化簡可得d=2a₁，
S₁S₉=a₁（9a₁+36d）=81a₁²，S₃=3a₁+3d=9a₁，
可得S₁S₉=S₃²，
即為S₁，S₃，S₉成等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：設(shè)a₁=1，b_n=a${\;}_{{2}^{n}}$，=a₁+（2ⁿ-1）d=1+2（2ⁿ-1）=2ⁿ⁺¹-1，
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=（4+8+…+2ⁿ⁺¹）-n
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=2ⁿ⁺²-4-n．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，等比數(shù)列中項的性質(zhì)，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，注意運用等比數(shù)列的求和公式，考查運算能力，屬于中檔題．