Question

在直角梯形PBCD中A為PD的中點，如下左圖。，將沿AB折到的位置，使，點E在SD上，且，如下右圖。

 （1）求證：平面ABCD；（2）求二面角E—AC—D的正切值．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）證明：在圖中，由題意可知，

    為正方形，所以在圖中，，

    四邊形ABCD是邊長為2的正方形，

    因為，ABBC，

    所以BC平面SAB，………………………3分

    又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，

    所以SA平面ABCD，………………………6分

（2）解法一： 在AD上取一點O，使，連接EO。

    因為，所以EO//SA…………………………7分

    所以EO平面ABCD，過O作OHAC交AC于H，連接EH，

    則AC平面EOH，所以ACEH。

    所以為二面角E—AC—D的平面角，………………………9分

    在中，…11分

    ，即二面角E—AC—D的正切值為………12分

   

解法二：如圖，以A為原點建立直角坐標(biāo)系，

    ……………7分

    易知平面ACD的法向為

    設(shè)平面EAC的法向量為

    ……………………9分

    由，所以，可取

    所以………………………………11分

所以

所以,即二面角E—AC—D的正切值為…………12分

【解析】略