Question

設等差數列{a_n}的各項均為整數，且公差d＞0，a₃=4，若a₁，a₃，a_k（k＞3）構成等比數列{b_n}的前三項．
（1）當k=7，a₁=2時，求數列的通項公式a_n，b_n；
（2）將數列{a_n}和{b_n}的相同的項去掉，剩下的項依次構成新的數列{c_n}，設其前n項和為S_n，求使得不等式

b1

S1

+

b2

S4

+

b3

S11

+…+

bn

S2n+1-(n+2)

＞

126

127

成立的最小正整數n．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：計算題,等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）因為k=7，所以a₁，a₃，a₇成等比數列，又a_n是公差d≠0的等差數列，利用等差數列的通項公式及等比數列的定義可以得到a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ；
（2）因為新的數列{c_n }的前2ⁿ-n-1項和為數列a_n的前2ⁿ-1項的和減去數列b_n前n項的和，運用等差數列和等比數列的求和公式，即可得到

bn

S2n+1-n-2

，拆成差的形式為

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，再由裂項相消求和，解不等式，即可得到n的最小值．

解答： 解：（1）因為k=7，所以a₁，a₃，a₇成等比數列，又a_n是公差d≠0的等差數列，
所以（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d），整理得a₁=2d，
又a₁=2，所以d=1，b₁=a₁=2，q=

b2

b1

=

a3

a1

=

a1+2d

a1

=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ；
（2）因為新的數列{c_n }的前2ⁿ-n-1項和為數列a_n的前2ⁿ-1項的和減去數列b_n前n項的和，
所以S_2ⁿ-n-1=

(2n-1)(2n+1)

2

-

2(1-2n)

1-2

=（2ⁿ-1）（2^n-1-1），
即有

bn

S2n+1-n-2

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
則有

b1

S1

+

b2

S4

+

b3

S11

+…+

bn

S2n+1-(n+2)

=（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n+1-1

＞

126

127

，則有2ⁿ⁺¹＞128=2⁷，即有n＞6．
故成立的最小正整數n為7．

點評：此題考查了等差數列，等比數列的定義及通項公式，還考查了解方程的能力，數列求和的錯位相減法，及學生的計算能力．