Question

20．已知三棱錐S-ABC的體積為$\frac{\sqrt{2}}{6}$，底面△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，棱SC是球O的直徑，則球O的表面積為4π．

Answer 1

分析 根據(jù)題意作出圖形，欲求球O的表面積，只須求球的半徑r．利用截面圓的性質(zhì)即可求出OO₁，進(jìn)而求出底面ABC上的高SD，即可計(jì)算出三棱錐的體積，從而建立關(guān)于r的方程，即可求出r，從而解決問題．

解答 設(shè)球心為O，球的半徑r．過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，
作SD⊥平面ABC交CO₁的延長(zhǎng)線與D．$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴OO₁=$\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{3}}$，
∴高SD=2OO₁，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴V_{三棱錐S-ABC=}$\frac{1}{3}×2\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{3}}×\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴R=1．則球O的表面積為4π，
故答案為：4π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的體積，考查球內(nèi)接多面體，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)S到面ABC的距離，屬于中檔題