Question

13．已知實數(shù)x滿足不等式2（log₂x）²-7log₂x+3≤0
（1）求實數(shù)x所滿足的取值范圍
（2）求函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x}{2}$•log₂$\frac{x}{4}$的最值．

Answer 1

分析 （1）令log₂x=t，解關(guān)于t的不等式2t²-7t+3≤0結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（2）化簡可得f（x）=（log₂x）²-3log₂x+2，由$\frac{1}{2}$≤log₂x≤3結(jié)合二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：（1）令log₂x=t，則2t²-7t+3≤0，
解得$\frac{1}{2}$≤t≤3，即$\frac{1}{2}$≤log₂x≤3，
由對數(shù)可得$\sqrt{2}$≤x≤8
∴實數(shù)x所滿足的取值范圍為[$\sqrt{2}$，8]；
（2）化簡可得f（x）=log₂$\frac{x}{2}$•log₂$\frac{x}{4}$
=（log₂x-1）（log₂x-2）
=（log₂x）²-3log₂x+2，
∵$\frac{1}{2}$≤log₂x≤3，
∴當(dāng)log₂x=$\frac{3}{2}$時，函數(shù)取最小值-$\frac{1}{4}$；
當(dāng)log₂x=3時，函數(shù)取最大值2．

點評 本題考查對數(shù)不等式的解法，涉及函數(shù)的最值和對數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．