Question

已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值、最小值及取最值時x的取值；
（3）寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦函數(shù)，二倍角公式化簡函數(shù)的表達式，然后利用兩角和公式化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式，
（1）求出函數(shù)的周期．（2）直接求出函數(shù)的最大值、最小值及取最值時x的取值；（3）直接寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx
=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

2

(1-cos2x)+

1

2

sin2x
=2sin（2x+

π

3

）；
所以函數(shù)的周期是：π．
（2）當(dāng)x=kπ+

π

12

（k∈Z）時，f（x）有最大值：2；當(dāng)x=kπ-

π

12

時，有最小值：-2；
（3）函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是：[kπ-

π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的周期的求法，基本函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．