Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+2（a∈R）且曲線y=f（x）在點（2，f（2））處切線斜率為0．
求：（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)曲線y=f（x）在點（2，f（2））處切線斜率為0可得f'（2）=0，然后解方程即可；
（II）先求f'（x）=0的值，然后當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況列表，最后根據(jù)表格求出函數(shù)的最值即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x²+2ax，而曲線y=f（x）在點（2，f（2））處切線斜率為0
∴f'（2）=0…（4分）
∴3×4+4a=0∴a=-3…（6分）
（Ⅱ）f（x）=x³-3x²+2，f'（x）=3x²-6x
令f'（x）=0得x₁=0，x₂=2…（9分）
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表

x	-1	（-1，0）		（0，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		+		-		+
f（x）	-2	↗	2	↘	-2	↗	2

…（11分）
從上表可知，最大值是2，最小值是-2．…（12分）
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點處的切線，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．