Question

9．已知2sin²x-cos²x+sinxcosx-6sinx+3cosx=0，求$\frac{2co{s}^{2}x+2sinxcosx}{1+tanx}$的值．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 tanx=$\frac{1}{2}$，再由倍角公式和萬能公式化簡要求的式子為$\frac{2}{1+ta{n}^{2}x}$，從而求得結(jié)果．

解答 解：∵2sin²x-cos²x+sinxcosx-6sinx+3cosx=0，
∴（sinx+cosx）（2sinx-cosx）-3（2sinx-cosx）=0，
 即（2sinx-cosx）（sinx+cosx-3）=0．
顯然sinx+cosx-3≠0，∴2sinx-cosx=0，
即 tanx=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{2co{s}^{2}x+2sinxcosx}{1+tanx}$=$\frac{1+cos2x+sin2x}{1+tanx}$=$\frac{1+\frac{1-ta{n}^{2}x}{1+ta{n}^{2}x}+\frac{2tanx}{1+ta{n}^{2}x}}{1+tanx}$=$\frac{2}{1+ta{n}^{2}x}$=$\frac{2}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行化簡求值，考查了倍角公式及萬能公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．