Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AB=1BC=2，PD=

3

，G、F分別為
AP、CD的中點．
（1）求證：AD⊥PC
（2）FG∥平面BCP
（3）線段AD上是否存在一點R，使得平面BFR⊥平面PCB，若存在，求出AR的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證AD⊥PC，可證AD垂直于PC所在的平面PCD，由已知條件底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD即能證明AD垂直于平面PCD；
（2）利用三角形中位線知識證明GH∥FC，GH=FC．從而說明四邊形GFCH是平行四邊形，再由線面平行的判定定理得到要證的結(jié)論；
（3）以D為坐標(biāo)原點，以DA，DC，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)線段AD上存在一點R，使得平面BFR⊥平面PCB，由兩平面的法向量垂直可求解R的位置．

解答：（1）證明：∵底面ABCD為矩形，∴AD⊥CD
∵PD⊥底面ABCD，AD?哦ing面ABCD，
∴AD⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AD⊥平面PDC．
∵PC?平面ABCD，∴AD⊥PC；
（2）證明：取BP中點H，連接GH，CH．
∵G，F(xiàn)分別為AP，DC的中點，
∴GH∥AB，GH=

1

2

AB，F(xiàn)C∥AB，F(xiàn)C=

1

2

AB．
∴GH∥FC，GH=FC．
∴四邊形GFCH是平行四邊形，
∴FG∥CH，CH?平面BCP，F(xiàn)G?平面BCP
∴FG∥平面BCP；
（3）∵PD⊥平面ABCD，以D為坐標(biāo)原點，以DA，DC，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
假設(shè)在線段AD上存在一點R，使得平面BPR⊥平面PCB，
設(shè)R（m，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），P（0，0，

3

），
則

CB

=(2，0，0)，

PB

=(2，1，-

3

)，

RB

=(2-m，1，0)，

RP

=(-m，0，

3

)．
設(shè)平面BCP的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)
由

n1 • CB =0 n1 • PB =0

，得

2x1=0 2x1+y1- 3 z1=0

，
令yy1=

3

，得x₁=0，z₁=1，所以

n1

=(0，

3

，1)．
設(shè)平面BPR的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)
由

n2 • RB =0 n2 • RP =0

，得

(2-m)x2+y2=0 -mx2+ 3 z2=0

，令x₂=1，得y2=m-2，z2=

m

3

所以

n2

=(1，m-2，

m

3

)．
∵

n1

•

n2

=0，∴

3

(m-2)+

m

3

=0，解得m=

3

2

．
∴線段AD上存在點R，且當(dāng)AR=

1

2

時，使得平面BPR⊥平面PCB．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面平行的判定，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，考查了利用平面法向量求解兩個平面的垂直問題，解答的關(guān)鍵是平面法向量的求法，是中檔題．