Question

3．設(shè)a為實(shí)數(shù)，若函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-ax²（x∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）當(dāng)a∈（0，1]時(shí)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a]上的最大值為M（a），求M（a）

Answer 1

分析 （1）將a=0代入函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出f′（x）=x（e^x-2a），分類討論列出表格得出單調(diào)性；
（3）通過（2）結(jié)合a的范圍得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出M（a）的表達(dá)式．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=（x-1）e^x，
f′（x）=e^x+（x-1）e^x=xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（2）∵函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-ax²（其中a∈R）．
∴f′（x）=x（e^x-2a），
①當(dāng)a≤0時(shí)，∵e^x-2a＞0，
∴x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），
∴f（x）_極大值=f（0）=-1；無極小值；
②當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=0，得出x=0，x=ln2a，
當(dāng)x變化時(shí)，如下表格：

x	（-∞，ln2a）	ln2a	（ln2a，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

可求得（-∞，ln2a）（0，+∞）為單調(diào)遞增區(qū)間；（ln2a，0）為單調(diào)遞減；
∴f（x）_極大值=f（ln2a）=aln²（2a）+2aln2a-2a，f（x）_極小值=f（0）=-1；
③當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=x（e^x-2a）≥0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增，無極值；
④當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=0，得出x=0．x=ln2a，
當(dāng)x變化時(shí)，如下表格：

x	（-∞，0）	0	（0，ln2a）	ln2a	（ln2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

可求得（-∞，0），（ln2a，+∞）為單調(diào)遞增區(qū)間；（0，ln2a）為單調(diào)遞減；
∴f（x）_極大值=f（0）=-1；f（x）_極小值=f（ln2a）=aln²（2a）+2aln2a-2a；
（3）由（2）得：①0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，a]單調(diào)遞增，M（a）=f（x）_最大值=f（a）=（a-1）e^a-a³；
②$\frac{1}{2}$＜a≤1時(shí)，f（x）在（0，ln2a）遞減，M（a）=f（x）_最大值=f（0）=-a-1，
綜上：M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1{）e}^{a}{-a}^{3}，0＜a≤\frac{1}{2}}\\{-a-1，\frac{1}{2}＜a≤1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本綜合考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，難度較大，多次求導(dǎo)判斷最值，單調(diào)性，必需思路清晰，目的性強(qiáng)．