Question

3．某研究所設(shè)計了一款智能機器人，為了檢驗設(shè)計方案中機器人動作完成情況，現(xiàn)委托某工廠生產(chǎn)500個機器人模型，并對生產(chǎn)的機器人進行編號：001，002，…，500，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的機器人樣本，試驗小組對50個機器人樣本的動作個數(shù)進行分組，頻率分布直方圖及頻率分布表中的部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，請據(jù)此回答如下問題：

分組	機器人數(shù)	頻率
[50，60）		0.08
[60，70）	10
[70，80）	10
[80，90）
[90，100]	6

（1）補全頻率分布表，畫出頻率分布直方圖；
（2）若隨機抽的第一個號碼為003，這500個機器人分別放在A，B，C三個房間，從001到200在A房間，從201到355在B房間，從356到500在C房間，求B房間被抽中的人數(shù)是多少？
（3）從動作個數(shù)不低于80的機器人中隨機選取2個機器人，該2個機器人中動作個數(shù)不低于90的機器人記為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意填寫頻率分布直方圖與頻率分布表中的部分?jǐn)?shù)據(jù)；
（2）根據(jù)系統(tǒng)抽樣分段間隔相等，計算抽取的樣本數(shù)據(jù)個數(shù)；
（3）由題意知ξ的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，
寫出ξ的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，50×0.08=4，50-4-10-10-6=20，計算對應(yīng)的頻率，填寫頻率分布直方圖及頻率分布表，

分組	機器人數(shù)	頻率
[50，60）	4	0.08
[60，70）	10	0.2
[70，80）	10	0.2
[80，90）	20	0.4
[90，100]	6	0.12

（2）系統(tǒng)抽樣的分段間隔為$\frac{500}{50}=10$，
在隨機抽樣中，首次抽到003號，以后每隔10個抽到一個，
則被抽中的機器人數(shù)構(gòu)成以3為首項，10為公差的等差數(shù)列，
故可分別求出在001到200中有20個，在201至355號中共有16個，
（3）該2個機器人中動作個數(shù)不低于90的機器人數(shù)記為ξ，
ξ的取值為0，1，2，
所以P（ξ=0）=$\frac{{C}_{20}^{2}}{{C}_{26}^{2}}$=$\frac{38}{65}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{20}^{1}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{26}^{2}}$=$\frac{24}{65}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{26}^{2}}$=$\frac{3}{65}$；
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{38}{65}$	$\frac{24}{65}$	$\frac{3}{65}$

數(shù)學(xué)期望為$E（ξ）=\frac{38}{65}×0+\frac{24}{65}×1+\frac{3}{65}×2=\frac{6}{13}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題，也考查了頻率分布表與直方圖的應(yīng)用問題，是中檔題．