Question

17．曲線y=2lnx上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)與直線2x-y+3=0平行且與曲線y=2lnx相切的直線方程為2x-y+m=0．設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)P，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：設(shè)與直線2x-y+3=0平行且與曲線y=2lnx相切的直線方程為2x-y+m=0．
設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），
∵y′=$\frac{2}{x}$，
∴斜率$\frac{2}{x}$=2，
解得x₀=1，因此y₀=2ln1=0．
∴切點(diǎn)為P（1，0）．
則點(diǎn)P到直線2x-y+3=0的距離d=$\frac{|2-0+3|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
∴曲線y=2lnx上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是$\sqrt{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩條平行線之間的距離、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．