Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=

2

3

，an+1=4an+1，n∈N*
（1）令bn=an+

1

3

，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）試求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）在已知式子的兩邊同時加上

1

3

可得an+1+

1

3

=4(an+

1

3

)，即b_n+1=4b_n 易證數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）由（1）可得數(shù)列{b_n}的通項公式，進而可得an=4n-1-

1

3

，采用分別求和的方式可得結(jié)果．

解答：解：（1）∵a_n+1=4a_n+1，
∴an+1+

1

3

=4an+

4

3

，
即an+1+

1

3

=4(an+

1

3

)，即b_n+1=4b_n，
又∵b1=a1+

1

3

=1
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）可得bn=1×4n-1=4n-1，
∴an=4n-1-

1

3

∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=40+41+…+4n-1-

n

3

=

40(1-4n)

1-4

-

n

3

=

1

3

4n-

1+n

3

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，和數(shù)列的求和問題，熟練利用熟悉的知識是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．