Question

【題目】已知曲線上的點(diǎn)到二定點(diǎn)、 的距離之和為定值，以為圓心半徑為4的圓與有兩交點(diǎn)，其中一交點(diǎn)為， 在y軸正半軸上，圓與x軸從左至右交于二點(diǎn)， ．

(1)求曲線、的方程；

(2)曲線，直線與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于二點(diǎn)，過(guò)做的切線， 交于．當(dāng)在x軸上方時(shí)，是否存在點(diǎn)，滿足，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) ,;(2) 必存在兩個(gè)滿足題設(shè)條件的點(diǎn).

【解析】試題分析：(1) 設(shè)，布列方程組，即可得到曲線、的方程;

(2) 由題設(shè)知， 得，則,

，∵交于∴, ∴，同理，∴在直線上，進(jìn)而就可得到滿足題意的點(diǎn).

試題解析：

(1)由題設(shè)知，曲線是定點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓

設(shè)

則，即 則， ，

∵，

∴ ∴即

∴

∴， ，

∴,

(2)存在點(diǎn)，滿足．下面證明之．

由題設(shè)知， 得,又知

設(shè)點(diǎn)

則,

∵, ∴

∵交于∴, ∴

同理 ∴在直線上

∴ ∵在上 ∴

即點(diǎn)為直線上的點(diǎn)

由得

知為橢圓上的點(diǎn),即為橢圓和直線的公共點(diǎn)．

將坐標(biāo)代入方程左端得

即上的點(diǎn)在橢圓內(nèi)部 ∴與橢圓必有二公共點(diǎn)

∴必存在兩個(gè)滿足題設(shè)條件的點(diǎn)．