Question

已知函數f（x）=x²+（k+1）x+k（k為常數）．
（Ⅰ）當k=2時，解關于x的不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若k＞0，在x∈（0，+∞）時，不等式

f(x)+1

x

＞8恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）當k=2時，不等式f（x）＞0可化為x²+3x+2＞0，解不等式可得答案；
（Ⅱ）若對任意的在x∈（0，+∞）時，不等式

f(x)+1

x

＞8恒成立，轉化為則k＞

-x2+7x

x+1

，構造函數，求出函數的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）當k=2時，f（x）=x²+3x+2，
∵f（x）＞0，
∴x²+3x+2＞0，
解得x＞-1，或x＜-2，
故不等式的解集為（-∞，-2）∪（-1，+∞）；
（Ⅱ）∵k＞0，在x∈（0，+∞）時，不等式

f(x)+1

x

＞8恒成立，
∴x²+（k+1）x+k＞8x，在x∈（0，+∞）時恒成立，
即k＞

-x2+7x

x+1

，在x∈（0，+∞）時恒成立，
設g（x）=

-x2+7x

x+1

，
∴g′（x）=

-x2-2x+8

(x+1)2

，
令g′（x）=0，解得x=2，
∴函數g（x）在（0，2）為增函數，在（2，+∞）為減函數，
∴g（x）_max=g（2）=2，
∴k＞2，
故k的取值范圍為（2，+∞）

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，解二次不等式，恒成立問題，屬于中檔題．