Question

設
（1）指出f（x）的單調(diào)性，說明理由；
（2）求F（x）=4^x-2^f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）∵，
∴1-2^x＞0，解得x∈（-∞，0）
設，
∵u=1-2^x在（-∞，0）上是減函數(shù)，y=log₂u是增函數(shù)，
∴由復合函數(shù)單調(diào)性的性質，知y=lg₂（1-2^x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
（2）∵，
∴2^f（x）==1-2x，
∵F（x）=4^x-2^f（x），
∴F（x）=4^x-（1-2^x）（x＜0），
令2^x=t，則t∈（0，1），
y=t²+t-1=（t+）²-，
∴當t=0時，y_min=（0+）²-=-1；
當t→1時，y_max→（1+）²-=1，
∴F（x）=4^x-2^f（x）的值域為[-1，1）．
分析：（1）由，知x∈（-∞，0），設，由此利用復合函數(shù)單調(diào)性的性質能判斷f（x）的單調(diào)性．
（2）由，把F（x）=4^x-2^f（x）等價轉化為F（x）=4^x-（1-2^x）（x＜0），由此利用換元法和二次函數(shù)的性質能求出F（x）=4^x-2^f（x）的值域．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)和值域的求法，解題時要合理地運用換元法和復合函數(shù)單調(diào)性的性質、二次函數(shù)的性質．