Question

已知函數f（x）=2lg（x+1）和g（x）=lg（2x+t）（t為常數）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）若x∈[0，1]時，g（x）有意義，求實數t的取值范圍．
（3）若x∈[0，1]時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）x+1＞0即x＞-1∴函數f（x）的定義域為（-1，+∞）
（2）∵x∈[0，1]時，g（x）有意義
∴2x+t＞0在[0，1]上恒成立，即t＞0
∴實數t的取值范圍是（0，+∞）
（3）∵x∈[0，1]時，f（x）≤g（x）恒成立
∴2lg（x+1）≤lg（2x+t）在[0，1]上恒成立
即（x+1）²≤2x+t
t≥x²+1在[0，1]上恒成立
∴t≥2
分析：（1）根據對數函數要有意義可知真數大于0建立不等式關系，即可求出函數的定義域；
（2）要使x∈[0，1]時，g（x）有意義，可轉化成2x+t＞0在[0，1]上恒成立，然后求出t的范圍即可；
（3）將2lg（x+1）≤lg（2x+t）在[0，1]上恒成立轉化成（x+1）²≤2x+t 即t≥x²+1在[0，1]上恒成立，然后求出x²+1在[0，1]上的最大值即可求出t的范圍．
點評：本題主要考查了對數函數定義域的求解，以及函數恒成立等有關問題，同時考查了轉化的數學思想，屬于中檔題．