Question

2．如果橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形，焦點(diǎn)在x軸上，且a-c=$\sqrt{3}$，那么橢圓的方程是$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形可得$b=\sqrt{3}c$，再由已知a-c=$\sqrt{3}$，隱含條件a²=b²+c²聯(lián)立方程組求得a，b的值，則橢圓方程可求．

解答 解：如圖，
由已知的正三角形，可得$b=\sqrt{3}c$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{3}c\\ a-c=\sqrt{3}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ a=2\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴橢圓的方程是$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．