Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)ω＞0使|f（x）|≤ω|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為“條件約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①f（x）=4x；
②f（x）=x²+2；
③f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-2x+5}$；
④f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對一切x₁，x₂均有f（x₁）-f（x₂）≤4|x₁-x₂|．
其中是“條件約束函數(shù)”的序號是①③④（寫出符合條件的全部序號）．

Answer 1

分析 用F函數(shù)的定義加以驗證，對于①③④⑤均可以找到常數(shù)ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|對一切實數(shù)x均成立，說明它們是“條件約束函數(shù)”．而對于②，當x→0時，|$\frac{f（x）}{x}$|→∞，所以不存在常數(shù)ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|對一切實數(shù)x均成立，故它們不符合題意．

解答 解：對于①，f（x）=4x，易知存在ω=4＞0，使|f（x）|≤ω|x|對一切實數(shù)x均成立，符合題意；是“條件約束函數(shù)”．
對于②用F函數(shù)的定義不難發(fā)現(xiàn)：因為x→0時，|$\frac{f（x）}{x}$|→∞，所以不存在常數(shù)ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|對一切實數(shù)x均成立，不符合題意，不是“條件約束函數(shù)”．
對于③，因為|f（x）|=$\frac{2\left|x\right|}{{x}^{2}-2x+5}$=$\frac{2\left|x\right|}{{（x-1）}^{2}+4}$≤$\frac{1}{2}$|x|，所以存在常數(shù)ω=$\frac{1}{2}$＞0，使|f（x）|≤ω|x|對一切實數(shù)x均成立，③是“條件約束函數(shù)”．
對于④，f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，故|f（x）|是偶函數(shù)，因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|得到，
|f（x）|≤4|x|成立，存在ω≥4＞0，使|f（x）|≤ω|x|對一切實數(shù)x均成立，符合題意．
是“條件約束函數(shù)”．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域和值域的問題，屬于中檔題．題中“條件約束函數(shù)”的實質(zhì)是函數(shù)f（x）與x的比值對應的函數(shù)是有界的，抓住這一點不難解出．