Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上的一點，且AB=14，BD=6，∠ADC=，．

（Ⅰ）求sin∠DAC；

（Ⅱ）求AD的長和△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）在中，已知∠ADC=，，要求sin∠DAC，所以將∠DAC用∠ADC和∠C來表示可得∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），進而用誘導公式可得， 再用兩角和的正弦公式展開，利用條件可求得結果；（Ⅱ）在△ABD中，知道一個角、兩條邊，故可用余弦定理求邊AD的長。△ACD中，根據條件由正弦定理可求CD邊長，進而可求BC邊長，根據條件分別求的面積即可得所求。

解：（Ⅰ）△ACD中，因為∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），∠ADC=，

所以 =；

因為 ，0＜∠C＜π，所以 ；

所以 ；

（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2﹣2BDADcos∠ADB，

所以 ，所以 AD2+6AD﹣160=0，即 （AD+16）（AD﹣10）=0，

解得AD=10或AD=﹣16（不合題意，舍去）；所以 AD=10；

在中，由正弦定理得，即 ，解得CD=15；所以 ，即．