Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+1-a}{a-x}$．
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a+$\frac{1}{2}$，a+1]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{3}{2}$時(shí)，求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用分離變量，可得f（x）=-1+$\frac{1}{a-x}$，再由x的范圍，可得a-x的范圍，進(jìn)而得到f（x）的值域；
（2）運(yùn)用絕對(duì)值的含義，去絕對(duì)值，再由二次函數(shù)的最值求法，注意對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{x+1-a}{a-x}$=-1+$\frac{1}{a-x}$，
由a+$\frac{1}{2}$≤x≤a+1，可得-a-1≤-x≤-a-$\frac{1}{2}$，
-2≤$\frac{1}{a-x}$≤-1．
于是-3≤-1+$\frac{1}{a-x}$≤-2，
則函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-3，-2]；
（2）函數(shù)g（x）=x²+|（x-a）f（x）|
=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+1-a，x≥a-1}\\{{x}^{2}-x-1+a，x＜a-1}\end{array}\right.$
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{3}{2}$時(shí)，-$\frac{1}{2}$≤a-1≤$\frac{1}{2}$．
則當(dāng)x≥a-1時(shí)，g（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$-a，對(duì)稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
則區(qū)間[a-1，+∞）為增區(qū)間，即有x=a-1，取得最小值（a-1）²；
當(dāng)x＜a-1時(shí)，g（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$+a，對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
則區(qū)間（-∞，a-1）為減區(qū)間，則g（x）＞（a-1）²．
則有g(shù)（x）的最小值為（a-1）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分式函數(shù)的值域和含絕對(duì)值的函數(shù)的最值的求法，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．