Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作一直線交拋物線于A、B兩點，以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切于點C（-2，-2）．
（1）求拋物線的標準方程
（2）求直線AB的方程
（3）求圓的方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由已知得準線方程為x=-2，即可求拋物線的標準方程；
（2）利用點差法，求直線AB的方程
（3）求得圓心坐標與半徑，即可求圓的方程．

解答： 解：（1）由已知得準線方程為x=-2，
∴

p

2

=2p=4，
故所求的拋物線方程為y²=8x；
（2）令A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由已知以AB為直徑的圓相切于點（-2，-2）∴y₁+y₂=-4，
由

(y1)2=8x1 (y2)2=8x2

兩式相減得：

y1-y2

x1-x2

=

8

y1+y2

=-2即kAB=-2，
又直線AB過拋物線的焦點（2，0），
所以所求AB直線方程為2x+y-4=0；
（3）令圓心坐標為（a，b）由（2）得b=-2，
又∵（a，b）在2x+y-4=0上，
∴a=3  （x₁+x₂=6）
又∵|AB|=x₁+x₂+p=6+4=10，
∴r=5，
故所求圓的方程為（x-3）²+（y+2）²=25．

點評：本題考查拋物線的方程與性質，考查圓的方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．