Question

10．在平面直角坐標系xOy中，過點M（0，1）的橢圓 Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$
（1）求橢圓 Γ的方程；
（2）已知直線l不過點M，與橢圓 Γ相交于P，Q兩點，若△MPQ的外接圓是以PQ為直徑，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由過點M（0，1）的橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得到a，b，c的方程組，解方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）△MPQ的外接圓以PQ為直徑，可得到MP⊥MQ，設直線MP方程，代入橢圓方程，求出點P的坐標，同理求出Q點坐標，從而求出直線PQ的方程，即可求出直線PQ過定點的坐標．

解答 解：（1）∵過點M（0，1）的橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{c}^{2}={a}^{2}-^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=3，b=1，
∴橢圓 Γ的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）證明：∵△MPQ外接圓是以PQ為直徑，故MP⊥MQ，
∴直線MP與坐標軸不垂直，
由M（0，1）可設直線MP的方程為y=kx+1，直線MQ的方程為y=-$\frac{1}{k}x+1$（k≠0），
將y=kx+1代入橢圓Γ的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
整理，得；（1+3k²）x²+6kx=1，
解得x=0，或x=-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，
∴P（-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$+1），即P（-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{1-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$），
同理，求得Q（$\frac{6k}{{k}^{2}+3}$，$\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}$），
∴直線l的方程為y=$\frac{\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}-\frac{1-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}}{\frac{6k}{{k}^{2}+3}+\frac{6k}{1+3{k}^{2}}}$（x-$\frac{6k}{{k}^{2}+3}$）+$\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}$，
化簡，得直線l的方程為y=$\frac{{k}^{2}-1}{4k}x-\frac{1}{2}$，
∴直線l過定點（0，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查橢圓的概念和性質(zhì)，直線和橢圓的位置關系，圓的性質(zhì)等知識，意在考查轉化和化歸思想，數(shù)形結合思想和學生的運算求解能力，是中檔題．