Question

已知f ( x )是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，又f ( 1 ) = f (－1 )，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)， ．

（1）求函數(shù)f ( x )在[－1，1]上的解析式；

（2）指出f ( x )在（－1，1）上的單調(diào)性，并說明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1） ∵ 當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，，且f ( x )在 [－1，1]是奇函數(shù)，  ∴ 當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，， 且f ( 0 ) = 0，f (－1 )=－f ( 1 )． 又   f ( 1 ) = f (－1 )，故f ( 1 ) = －f ( 1 )． ∴  f ( 1 ) = 0，f (－1 ) = 0． 于是 （2）任取x1，x2 使 0< x1< x2 &l t; 1，則： ． 顯然， >0，>0， 又當(dāng) 0< x1< x2 < 1時(shí)，，>1， ∴  > 0，即， ∴ f ( x )在（0，1）上是增函數(shù)． 任取x1，x2 使－1< x1< x2 < 0，則 0 < (－x2 )< (－x1 ) < 1， ∴ ．又f ( x )是[－1，1]上的奇函數(shù)， ∴  ， 于是有  ．∴  ． ∴  f ( x )在（－1，0）上也是增函數(shù)．

提示：

當(dāng)0 < x < 1時(shí)，及f ( x )是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)。對(duì)于（2），則應(yīng)依據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義作探索．