Question

（2012•廣西模擬）如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，E為A₁D₁的中點，則BE與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為

3

6

．

Answer 1

分析：過E作EF⊥B₁D₁于F，由DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，知EF⊥平面BB₁D₁D，連接BF，則∠EBF為BE與平面BB₁D₁D所成角，由在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，E為A₁D₁的中點，知EF=

1

4

A1C1=

2

2

，由此能求出BE與平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

解答：解：過E作EF⊥B₁D₁于F，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴DD₁⊥EF，∴EF⊥平面BB₁D₁D，
連接BF，則∠EBF為BE與平面BB₁D₁D所成角，
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，E為A₁D₁的中點，
∴EF=

1

4

A1C1=

2

2

，
∵BF=

12+( 3 2 2 )2

=

22

2

，
∴BE=

1 2 + 11 2

=

6

，
∴sin∠EBF=

EF

BE

=

2 2

6

=

3

6

．
故答案為：

3

6

．

點評：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意把空間幾何問題合理地轉(zhuǎn)化為平面解析幾何問題．