Question

已知函數(shù)f（x）=lg（m^x-2^x）（0＜m＜1）．
（1）當(dāng)m=

1

2

時(shí)，求f（x）的定義域；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性并給出證明；
（3）若f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將m=

1

2

代入得到f（x）的解析式，根據(jù)解析式要有意義，列出不等式，求解即可得到f（x）的定義域；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，令g（x）=m^x-2^x，先判斷出g（x₂）＜g（x₁），再根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性，判斷出f（x₂）＜f（x₁），從而證明結(jié)結(jié)論；
（3）將f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，等價(jià)為f（x）＞0在（-∞，-1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為f（x）_min＞0，利用f（x）的單調(diào)性即可求出f（x）的最小值，從而列出不等式，求解即可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)m=

1

2

時(shí)，f（x）=lg[（

1

2

）^x-2^x]，
∴(

1

2

)x-2x＞0，即2^-x＞2^x，
∴-x＞x，即x＜0，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜0}；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)．
證明：設(shè)x₂＜0，x₁＜0，且x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0，
令g（x）=m^x-2^x，
∴g（x₂）-g（x₁）=mx2-2x2-mx1+2x1=mx2-mx1+2x1-2x2，
∵0＜m＜1，x₁＜x₂＜0，
∴mx2-mx1＜0，2x1-2x2＜0，
∴g（x₂）-g（x₁）＜0，即g（x₂）＜g（x₁），
∴l(xiāng)g（g（x₂））＜lg（g（x₁）），
∴l(xiāng)g（g（x₂））-lg（g（x₁））＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
（3）由（2）可知，f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，-1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，-1]上的最小值為f（-1）=lg（m^-1-2^-1），
∵f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，即f（x）＞0在（-∞，-1]上恒成立，
∴f（x）_min＞0，
∴f（-1）=lg（m^-1-2^-1）＞0，即m^-1-2^-1＞1，
∴

1

m

＞1+

1

2

=

3

2

，
∵0＜m＜1，
∴0＜m＜

2

3

，
故m的取值范圍為0＜m＜

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)定義域的求解，函數(shù)單調(diào)性的判斷及其證明，函數(shù)恒成立問題的求解．對(duì)于求函數(shù)的定義域即求使得解析式有意義的x的取值集合．函數(shù)恒成立問題的，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．屬于中檔題．