Question

如圖,已知ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點(diǎn)F，求證：AF=AE.

Answer 1

證明:以正方形ABCD的邊DC所在的直線為x軸，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（-1，1）、B（0，1）.又設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x,y),則=（x,y-1),=(1,-1).

∵∥,

∴x(-1)-1·（y-1)=0,

即x+y=1.①

又CE=AC,

∴x²+y²=2.②

∵點(diǎn)E在y軸右側(cè)，

∴由①②得點(diǎn)E的坐標(biāo)為().

∴|AE|=.

再設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x′,1),則=(x′,1).

又=()且∥，

∴x′-·1=0.

∴x′=-2-.

∴F(-2-,1).

從而|AF|=|-1-（-2-）|=+1.

∴AF=AE.