Question

19．已知圓x²+y²-2ax+2y+b-2a+4=0．
（1）若b=a²，試求實數a的取值范圍；
（2）若b=2a²-6，試求面積最大的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）若b=a²，將圓x²+y²-2ax+2y+b-2a+4=0化為標準方程，根據方程右邊為半徑的平方，大于0，可得實數a的取值范圍；
（2）若b=2a²-6，將圓x²+y²-2ax+2y+b-2a+4=0化為標準方程，求出半徑的平方最大時的a值，可得答案．

解答 解：（1）若b=a²，
則圓x²+y²-2ax+2y+b-2a+4=0可化為：
x²+y²-2ax+2y+a²-2a+4=0，即（x-a）²+（y+1）²=2a+3，
由2a+3＞0得：a＞$-\frac{3}{2}$
（2）若b=2a²-6，
則圓x²+y²-2ax+2y+b-2a+4=0可化為：
x²+y²-2ax+2y+2a²-6-2a+4=0，
即（x-a）²+（y+1）²=-a²+2a+3，
當a=1時，-a²+2a+3取最大值4，
此時圓的面積最大，
故面積最大的圓的方程為（x-1）²+（y+1）²=4

點評 本題考查的知識點是圓的一般方程和圓的標準方程，函數的最值，難度中檔．