Question

如圖，斜率為1的直線過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，與拋物線交于兩點A、B，將直線AB按向量平移得到直線l，N為l上的動點，M為拋物線弧AB上的動點．
（Ⅰ） 若|AB|=8，求拋物線方程．
（Ⅱ）求S_△ABM的最大值．
（Ⅲ）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用韋達定理及拋物線的定義，計算弦長，即可求得拋物線的標準方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|AB|=4p，故求S_△ABM的最大值，即求M到AB距離的最大值；
（Ⅲ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合配方法，即可求的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由條件知，則，消去x得：①，則x₁+x₂=3p，
由拋物線定義|AB|=x₁+x₂+p=4p，
又因為|AB|=8，即p=2，則拋物線方程為y²=4x．---------------------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|AB|=4p和，設，
則M到AB距離：，因M，O在直線AB的同側(cè)，所以，
則，即，
由①知
所以，則當y=p時，，
則．---------------------------------------（8分）
（Ⅲ）設，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，，
即
由①知x₁+x₂=3p，，，y₁+y₂=2p，則，
即，當x=p時，的最小值為．
（其它方法酌情給分）---------------------------------------------------（12分）
點評：本題考查拋物線的弦長計算，考查三角形面積，考查向量知識，解題的關鍵是正確運用拋物線的定義，屬于中檔題．