Question

將一張長為9厘米，寬為厘米的長方形紙片ABCD的一只直角斜折，使D點總是落在對邊AB上，然后展開這些折痕l．這樣繼續(xù)下去，得到若干折痕．
（1）請說明這些折痕圍成的輪廓，它們形成何種曲線？建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出該曲線的方程；
（2）記折痕l與邊CD的夾角為θ，求出l與θ之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求折痕l的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以邊AD所在的直線為y軸，以邊AD為垂直平分線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．則可求A，B，C，D的坐標(biāo)，在折痕上取一點M，且MD′⊥AB，則可得，MD′=MD，即折痕圍上的任意一點到直線y=2的距離與到點D（0，2）的距離相等，圍成的輪廓為拋物線的一部分，曲線對應(yīng)的曲線可求     
（2）由題意可得，則．當(dāng)l過點C時，θ最小，而，從而可求sinθ得范圍          
（3）由，令t=sinθ，則，，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的最小值
解答：解：（1）以邊AD所在的直線為y軸，以邊AD的垂直平分線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系
．則（），B（9，2），C（），D（0，-2）
連接DD′，則l是DD′的垂直平分線．
∴在折痕上取一點M，且MD′⊥AB，則可得，MD′=MD，即折痕圍上的任意一點到直線y=2的距離與到點D（0，2）的距離相等，圍成的輪廓為開口向下的拋物線的一部分，焦點為（0，-2）
曲線對應(yīng)的曲線的方程為（）．        …（4分）
（2）因為，所以．
當(dāng)l過點C時，θ最小，可得此時，
又因為，所以．            …（8分）
（3），
令t=sinθ，則，，，令f′（t）=0，．
當(dāng)時，f′（t）＜0，所以f（t）在上遞減；
當(dāng)時，f′（t）＞0，所以f（t）在上遞增；
所以f（t）_min=．                   …（16分）
點評：本題主要考查了點的軌跡方程的求解，三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及函數(shù)的最值，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用