Question

4．如圖：在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD=2．
（1）求異面直線PC與AB所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求點(diǎn)E、F分別是棱AD和PC的中點(diǎn)，求證：EF⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB方向?yàn)閤軸正方向，AD方向?yàn)閥軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PC與AB所成角的大小．
（2）求出$\overrightarrow{EF}=（1，0，1）$，$\overrightarrow{BC}=（0，2，0）$，$\overrightarrow{PC}=（2，2，-2）$，利用向量法能證明EF⊥平面PBC．

解答 解：（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB方向?yàn)閤軸正方向，AD方向?yàn)閥軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，2），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）
所以，$\overrightarrow{PC}=（2，2，-2）$，$\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$，
設(shè)$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{AB}$的夾角為α，
則$cosα=\frac{{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{AB}|}}=\frac{4}{{2\sqrt{3}•2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
所以$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{AB}$的夾角為$arccos\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
即異面直線PC與AB所成角的大小為$arccos\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
證明：（2）因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是棱AD和PC的中點(diǎn)，
可得E（0，1，0），F(xiàn)（1，1，1），所以$\overrightarrow{EF}=（1，0，1）$，
又$\overrightarrow{BC}=（0，2，0）$，$\overrightarrow{PC}=（2，2，-2）$，
計(jì)算可得$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{PC}=0$，$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}=0$，
所以，EF⊥PC，EF⊥BC，又PC∩BC=C，
所以EF⊥平面PBC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．