Question

（本題滿分為12分）

已知函數(shù)的圖像過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線的斜率是．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）求在區(qū)間上的最大值；

（3）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在軸上？請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）當(dāng)，即時(shí)，在上的最大值為2；當(dāng)，即時(shí)，在上的最大值為 ．（3）存在。

【解析】

試題分析：解：

（I）當(dāng)時(shí)，則． （1分）

依題意，得 即，解得．    （3分）

（II）由（1）知，

①當(dāng)時(shí)

令得或                                     （4分）

當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：

		0			（）
	-	0	+	0	-
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

 

又

所以在上的最大值為．                                   （6分）

②當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為0 ；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為．（7分）

綜上所述，

當(dāng)，即時(shí)，在上的最大值為2；

當(dāng)，即時(shí)，在上的最大值為 ．     （8分） 

（III）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)只能在y軸的兩側(cè)．

不妨設(shè)，則，顯然

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042114512353966203/SYS201304211453402271846387_DA.files/image042.png">是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

所以，即    ①

若方程①有解，則存在滿足題意的兩點(diǎn)；若方程①無(wú)解，則不存在滿足題意的兩點(diǎn)

若，則，代入①式得，

即，而此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，因此．                        （10分） 

此時(shí)，代入①式得,即   ②

令，則，所以在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042114512353966203/SYS201304211453402271846387_DA.files/image058.png">，所以，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍為．所以對(duì)于，方程②總有解，即方程①總有解．

因此對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上．                （12分） 

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：在新課標(biāo)中，導(dǎo)數(shù)是重要的知識(shí)點(diǎn)，由于它對(duì)求函數(shù)的單調(diào)性、最值由很大的幫助，因而成為考試的熱點(diǎn)。