Question

10．在數列{a_n}中，a_n+1=3a_n+3ⁿ，a₁=1，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由題意化簡可得$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=1，從而構造數列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$}是等差數列，從而解得．

解答 解：∵a_n+1=3a_n+3ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$+1，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{3}^{0}}$=1，
∴{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$}是以1為首項，1為公差的等差數列，
故$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=1+（n-1）=n，
故a_n=n•3^n-1．

點評 本題考查了等差數列的應用及構造法的應用，同時考查了學生的化簡運算能力．